1. Origen y bases de la teoría fractal
1.1. Antecedentes
Benoit Mandelbrot, científico de IBM (hasta 1987) y Profesor retirado de matemáticas en Yale (hasta 2005), hizo un gran descubrimiento desafiando lo establecido, las matemáticas académicas. Al hacerlo, Él fue más allá de la teoría de Einstein para descubrir que la cuarta dimensión no solo incluye las primeras tres dimensiones, sino también los huecos o intervalos entre estas, la dimensión fractal. La geometría de la cuarta dimensión –geometría fractal- fue creada casi sin ayuda por Mandelbrot. Esta ahora es reconocida como la verdadera geometría de la naturaleza. La geometría fractal de Mandelbrot remplaza a la geometría euclidiana, la cual ha dominado nuestro pensamiento matemático por cientos de años. Nosotros ahora sabemos que la geometría Euclidiana perteneció solo a realidades artificiales de la primera, segunda y tercera dimensiones. Esas dimensiones son imaginarias. Solamente la cuarta dimensión es real (Wisdom,1999; Wikipedia, 2008).
Aunque los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el francés Henri Poincaré. Sus ideas fueron extendidas más tarde por dos matemáticos también franceses, Gastón Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Desde 1975, Mandelbrot acuño el término “fractal” para describir un conjunto relacionado con fenómenos naturales, pero Perfect y Kay (1991) dicen que Mandelbrot en 1982 publicó su obra “The fractal geometry of nature”, cuyo significado tiene como origen la palabra latina fractus, la cual describe la apariencia de una roca quebrada.
En 1979, Mandelbrot como Profesor visitante de matemáticas en la Universidad de Harvard, inició el estudio de fractales llamados Julia sets, que eran invariantes dentro de ciertas transformaciones del plano complejo. Construyendo un trabajo previo de Julia Gaston y Fatuo Pierre, para lo cual, Mandelbrot utilizó una computadora para crear imágenes del Julia sets de la fórmula z2- m. Mientras investigaba de cómo la topología del Julia sets dependía de los parámetros m complejos estudiados, Él estudió el Mandelbrot set fractal que ahora lleva su nombre: la trama de Mandelbrot (Wikipedia, 2008).
1.2. Principio teórico
Un fractal es un diseño de estructura y complejidad infinitas. Patrones infinitos restringidos a un espacio finito. Una construcción geométrica cuya complejidad se mantiene al incrementar la escala de observación. Las características que definen un fractal son las siguientes: autosimilitud, infinito detalle y dimensión no entera. Un sistema se define como fractal cuando se compone de partes que se asemejan al todo. De manera que una jerarquía de formas fractales en los que cada nivel superior es una versión de la escala inferior o sobre esta (Perfect y Kay, 1991; Bittelli et al., 1999; Wang et al., 2005).
Es por esto que la geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Estas poseen a veces una remarcable invarianza de simplificación bajo los cambios de la magnificación, propiedad que caracteriza a los fractales (Aparicio-Gallo, s/f).
1.3. Fractales y sistemas caóticos
Se entiende que la geometría fractal es la geometría de la naturaleza, del caos y del orden, con formas y secuencias que son localmente impredecibles, pero globalmente ordenadas, en contraste con la geometría euclídea, que representa objetos creados por el hombre. De modo que la organización es presentada como u sistema abierto, dinámico, no lineal sujeto a fuerzas externas e internas. Un sistema dinámico no lineal es un sistema donde la relación entre el tiempo que dependen de variables no son lineales. Este sistema tiene tres tipos de equilibrios: equilibrio estable, inestabilidad explosiva, y ruido deterministico; términos que Thiétart y Morgues (1995) definen del siguiente modo:
Equilibrio estable.- el equilibrio estable es cuando el sistema está directamente dirigido mediante una retroalimentación negativa, en el que la profundidad de influencia de las variables, después de un cambio, el sistema siempre regresa a su estado inicial;
Inestabilidad explosiva.- la instabilidad explosiva es cuando el sistema está directamente dirigido mediante una retroalimentación positiva, la cual, refuerza el cambio original hecho en una de las variables, de manera que pequeños cambios son acumulados exponencialmente para conducir a una situación explosiva.
Ruido determinístico.- el ruido determinístico se produce por la presencia simultanea de influencias de retroalimentación positiva y negativa. En cuyo caso, el sistema puede alcanzar un equilibrio estable o punto de atracción independientemente del tiempo. Puede observarse además una forma de estabilidad periódica donde el sistema periódicamente regresa a su estado previo. Se considera que su comportamiento completamente errático.
2. Para calcular la Dimensión Fractal
2.1. Ley del poder de relación
La dimensión fractal, D, provee una medida combinada de irregularidades y fragmentación a través de todas las escalas espaciales consideradas. Perfect y Kay (1991) dicen que con base en lo propuesto por Mandelbrot en 1982, los fractales son caracterizados por medio de una poderosa ley de relación entre el número y el tamaño de los objetos. El valor de D es igual al valor absoluto del exponente de la relación (1):
N>x = K(x)-D (1)
1.1. Antecedentes
Benoit Mandelbrot, científico de IBM (hasta 1987) y Profesor retirado de matemáticas en Yale (hasta 2005), hizo un gran descubrimiento desafiando lo establecido, las matemáticas académicas. Al hacerlo, Él fue más allá de la teoría de Einstein para descubrir que la cuarta dimensión no solo incluye las primeras tres dimensiones, sino también los huecos o intervalos entre estas, la dimensión fractal. La geometría de la cuarta dimensión –geometría fractal- fue creada casi sin ayuda por Mandelbrot. Esta ahora es reconocida como la verdadera geometría de la naturaleza. La geometría fractal de Mandelbrot remplaza a la geometría euclidiana, la cual ha dominado nuestro pensamiento matemático por cientos de años. Nosotros ahora sabemos que la geometría Euclidiana perteneció solo a realidades artificiales de la primera, segunda y tercera dimensiones. Esas dimensiones son imaginarias. Solamente la cuarta dimensión es real (Wisdom,1999; Wikipedia, 2008).
Aunque los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el francés Henri Poincaré. Sus ideas fueron extendidas más tarde por dos matemáticos también franceses, Gastón Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Desde 1975, Mandelbrot acuño el término “fractal” para describir un conjunto relacionado con fenómenos naturales, pero Perfect y Kay (1991) dicen que Mandelbrot en 1982 publicó su obra “The fractal geometry of nature”, cuyo significado tiene como origen la palabra latina fractus, la cual describe la apariencia de una roca quebrada.
En 1979, Mandelbrot como Profesor visitante de matemáticas en la Universidad de Harvard, inició el estudio de fractales llamados Julia sets, que eran invariantes dentro de ciertas transformaciones del plano complejo. Construyendo un trabajo previo de Julia Gaston y Fatuo Pierre, para lo cual, Mandelbrot utilizó una computadora para crear imágenes del Julia sets de la fórmula z2- m. Mientras investigaba de cómo la topología del Julia sets dependía de los parámetros m complejos estudiados, Él estudió el Mandelbrot set fractal que ahora lleva su nombre: la trama de Mandelbrot (Wikipedia, 2008).
1.2. Principio teórico
Un fractal es un diseño de estructura y complejidad infinitas. Patrones infinitos restringidos a un espacio finito. Una construcción geométrica cuya complejidad se mantiene al incrementar la escala de observación. Las características que definen un fractal son las siguientes: autosimilitud, infinito detalle y dimensión no entera. Un sistema se define como fractal cuando se compone de partes que se asemejan al todo. De manera que una jerarquía de formas fractales en los que cada nivel superior es una versión de la escala inferior o sobre esta (Perfect y Kay, 1991; Bittelli et al., 1999; Wang et al., 2005).
Es por esto que la geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Estas poseen a veces una remarcable invarianza de simplificación bajo los cambios de la magnificación, propiedad que caracteriza a los fractales (Aparicio-Gallo, s/f).
1.3. Fractales y sistemas caóticos
Se entiende que la geometría fractal es la geometría de la naturaleza, del caos y del orden, con formas y secuencias que son localmente impredecibles, pero globalmente ordenadas, en contraste con la geometría euclídea, que representa objetos creados por el hombre. De modo que la organización es presentada como u sistema abierto, dinámico, no lineal sujeto a fuerzas externas e internas. Un sistema dinámico no lineal es un sistema donde la relación entre el tiempo que dependen de variables no son lineales. Este sistema tiene tres tipos de equilibrios: equilibrio estable, inestabilidad explosiva, y ruido deterministico; términos que Thiétart y Morgues (1995) definen del siguiente modo:
Equilibrio estable.- el equilibrio estable es cuando el sistema está directamente dirigido mediante una retroalimentación negativa, en el que la profundidad de influencia de las variables, después de un cambio, el sistema siempre regresa a su estado inicial;
Inestabilidad explosiva.- la instabilidad explosiva es cuando el sistema está directamente dirigido mediante una retroalimentación positiva, la cual, refuerza el cambio original hecho en una de las variables, de manera que pequeños cambios son acumulados exponencialmente para conducir a una situación explosiva.
Ruido determinístico.- el ruido determinístico se produce por la presencia simultanea de influencias de retroalimentación positiva y negativa. En cuyo caso, el sistema puede alcanzar un equilibrio estable o punto de atracción independientemente del tiempo. Puede observarse además una forma de estabilidad periódica donde el sistema periódicamente regresa a su estado previo. Se considera que su comportamiento completamente errático.
2. Para calcular la Dimensión Fractal
2.1. Ley del poder de relación
La dimensión fractal, D, provee una medida combinada de irregularidades y fragmentación a través de todas las escalas espaciales consideradas. Perfect y Kay (1991) dicen que con base en lo propuesto por Mandelbrot en 1982, los fractales son caracterizados por medio de una poderosa ley de relación entre el número y el tamaño de los objetos. El valor de D es igual al valor absoluto del exponente de la relación (1):
N>x = K(x)-D (1)
Donde N>x es el número acumulativo de objetos mayores a x, y K es una constante igual a N>x en x= 1. El valor de D depende de la forma de objetos individuales dentro de la distribución y el alcance general de la fragmentación. En el caso de objetos regulares, tales como cubos, D es únicamente una medida de fragmentación.
La forma de la ecuación (1) es ilustrada en la Figura 1 para diferentes valores de D, mientras K tuvo un valor constante. En D = 0, la distribución del tamaño es dominada por medio de infinitamente pocos objetos grandes. Como se incrementa D, el número el número de pequeños objetos se incrementa a expensas de uno de los más grandes. En D = 3, el número acumulativo de objetos es mayor que los incrementos de x mediante un factor de peso, como x es decreciente pos la mitad.
Figura 1. Distribución acumulada tamaño-frecuencia generada mediante una variación en D, mientras que K tiene un valor constante.
Literatura citada
Aparicio-Gallo, s/f. Teoría fractal. Programa de Electrónica, Fundación Centro de Investigación, Docencia y Consultoría Administrativa. FCIDCA-Bogota, Colombia. Revisado (05/15/08) en: http://www.google.com/search?hl=en&rls=GGLR%2CGGLR%3A2005-38%2CGGLR%3Aen&q=www.cidca.edu.co%2FREVISTA%2FVol2%2Fart4pag47-54.pdf+&btnG=Search
Bittelli M., Campbell G. S. y Flury M. 1999. Characterization of particle-size distribution in soils with fragmentation model. Soil Sci. Soc. Am. J. Vol. 63, No. Jul-Ago, 1999.
Perfect E. y Kay B. D. 1991. Fractal theory applied to soil aggregation. Soil Sci. Soc. Am. J. 55: 1552-1558
Thiétart R. A. y Forgues B. 1995. Chaos theory and organization. Organization Science, vol 67 no 1. 19-31
Wang K., Zhang R. y Wang F. 2005. Testing the pore-solid fractal model for the soil water retention function. Soil Sci. Soc. Am. J. Vol. 69, no. May-Jun.
Wikipedia, 2008. Benoît Mandelbrot. Wikipedia the free encyclopedia. Revisado (05/14/08) en: http://en.wikipedia.org/wiki/Benoît_Mandelbrot#cite_note-3
Wisdom,1999. Fractal geometry, the story of Benoit B. Mandelbrot and the Geometry of chaos. Revisado (05/14/08) en: http://www.fractalwisdom.com/FractalWisdom/fractal.html#geometry
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